Intercambiar dos filas
Cambia la posición de dos ecuaciones cuando conviene usar otro pivote.
Guía de sistemas lineales
Cómo resolver sistemas de ecuaciones con matrices
Para resolver un sistema lineal con matrices, coloca los coeficientes en A, las incógnitas en x y los términos independientes en b para escribir el sistema como Ax = b. Forma la matriz aumentada [A | b], aplica operaciones elementales por filas hasta obtener la forma escalonada reducida por filas (RREF) y lee la solución en las filas finales.
En esta página
- De las ecuaciones a Ax = b
- Construir la matriz aumentada
- Las tres operaciones elementales por filas
- Ejemplo completo de 2×2
- Cómo muestra la RREF el tipo de solución
- Ejemplo con tres incógnitas
- Cuándo funciona el método de la inversa
- Fracciones y decimales
- Errores frecuentes
- Comprueba tu resultado
- Preguntas frecuentes
De las ecuaciones a Ax = b
Empieza manteniendo el mismo orden de incógnitas en cada ecuación:
x + y = 5
2x − y = 1Los coeficientes forman A, las incógnitas forman x y los términos independientes forman b:
A
112−1
×
x
xy
=
b
51
La forma matricial mantiene separados los coeficientes, las incógnitas y los términos independientes.
Resolver con ecuaciones o con A y b →Construir la matriz aumentada
La matriz aumentada (también llamada matriz ampliada) coloca b como la última columna junto a A. Cada ecuación se convierte en una fila:
[1 1 | 5]
[2 −1 | 1]La barra vertical es un separador visual: la última columna contiene los términos independientes, no otro coeficiente de variable.
Abrir la calculadora de matriz aumentada →Las tres operaciones elementales por filas
La eliminación de Gauss-Jordan usa operaciones que conservan el conjunto de soluciones:
Multiplicar una fila por un número distinto de cero
Escala una fila para crear un pivote igual a 1 sin cambiar las soluciones.
Sumar un múltiplo de una fila a otra fila
Elimina entradas encima o debajo de un pivote manteniendo ecuaciones equivalentes.
El objetivo es la RREF, donde las columnas pivote hacen que la solución sea fácil de leer.
Ejemplo completo de 2×2
Para el sistema x + y = 5 y 2x − y = 1, empieza con:
[1 1 | 5]
[2 −1 | 1]Paso 1
R2 ← R2 − 2R1
[1 1 | 5]
[0 −3 | −9]Paso 2
R2 ← −⅓R2
[1 1 | 5]
[0 1 | 3]Paso 3
R1 ← R1 − R2
[1 0 | 2]
[0 1 | 3]La RREF final da x = 2 e y = 3.
Cómo muestra la RREF el tipo de solución
Solución única
[1 0 | 2]
[0 1 | 3]Cada columna de variable tiene un pivote, por lo que cada incógnita tiene un valor.
Sin solución
[1 0 | 2]
[0 0 | 1]La segunda fila dice 0 = 1, así que el sistema es inconsistente.
Infinitas soluciones
[1 2 | 5]
[0 0 | 0]El sistema es consistente pero tiene una variable libre, así que las soluciones usan un parámetro.
Ejemplo con tres incógnitas
El mismo método sirve para un sistema más grande:
x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 2La matriz aumentada es:
[1 1 1 | 6]
[2 −1 1 | 3]
[1 2 −1 | 2]Una ruta eficiente de reducción es R2 ← R2 − 2R1, R3 ← R3 − R1, escalar las filas pivote segunda y tercera, y después eliminar las entradas sobre los pivotes. La RREF final es:
[1 0 0 | 1]
[0 1 0 | 2]
[0 0 1 | 3]Por lo tanto, x = 1, y = 2 y z = 3.
Cuándo funciona el método de la inversa
Se puede usar x = A⁻¹b solo cuando A es cuadrada e invertible. Muchos sistemas son rectangulares o singulares, por lo que la RREF es el método principal para resolver sistemas con matrices.
Fracciones y decimales
Las fracciones conservan valores exactos durante la reducción por filas. Los decimales pueden servir para estimaciones, pero redondear demasiado pronto puede ocultar relaciones exactas. Cuando sea posible, conserva fracciones como 1/2 y -3/4.
Errores frecuentes
- Cambiar el orden de las incógnitas entre ecuaciones.
- Colocar los términos independientes dentro de A en lugar de b.
- Aplicar una operación solo a una parte de la fila.
- Confundir la forma escalonada con la forma escalonada reducida.
- Redondear los decimales antes del resultado final.
- Suponer que todo sistema tiene una única solución.
Comprueba tu resultado
Usa la calculadora para introducir ecuaciones, A y b o una matriz aumentada, y comprobar el resultado en RREF.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa Ax = b?
A es la matriz de coeficientes, x es el vector columna de incógnitas y b es el vector de términos independientes. Juntos representan el mismo sistema lineal en forma matricial.
¿Por qué se utiliza una matriz aumentada?
Una matriz aumentada coloca los términos independientes junto a la matriz de coeficientes para que cada operación por filas actualice las ecuaciones y los términos independientes al mismo tiempo.
¿Cómo muestra la RREF que un sistema no tiene solución?
La RREF muestra que no hay solución cuando aparece una fila contradictoria, como [0 0 | 1]. Esa fila significa 0 = 1, algo imposible.
¿Cuándo existen infinitas soluciones?
Existen infinitas soluciones cuando el sistema es consistente pero al menos una columna de variable no tiene pivote. Esa variable es libre y puede escribirse con un parámetro.
¿Se puede resolver cualquier sistema con la matriz inversa?
No. El método de la inversa x = A⁻¹b solo funciona cuando A es cuadrada e invertible. La RREF es el método más general para sistemas lineales.
¿Cambian las operaciones por filas el conjunto de soluciones?
Las operaciones elementales por filas válidas no cambian el conjunto de soluciones. Reescriben el sistema en una forma equivalente y más fácil de interpretar.